【随机分析（一）】从概率论谈起

概率论的基本概念

随机变量

样本空间 $\Omega$ ：试验所有可能结果的集合

基本事件$\omega$ ：一次试验不可再细分的结果

事件$A、 B、 C$：称为 $ \Omega $ 的子集

$\omega \in A$ （属于） $A \subseteq \Omega $ （包含于）

随机变量$X$ ：是定义于 $\Omega$ 上的实值函数

其映射：

$\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\ \omega \rightarrow X(\omega)$

$\sigma$ 代数

定义

上述三条约束分别代表着：规范性、对补封闭、对可列并封闭

一些性质

生成的$\sigma $代数

$\sigma(C):包含C的最下的\sigma 代数$

最小：$包含C且被所以包含C的\sigma 代数所包含$

$\pmb{Borel}$（波雷尔）代数：由$\mathbb{R}$上的所有开区间生成的$\sigma$函数

概率、分布函数、分布

概率P：定义于 $F$上的取值于[0,1] 之间的实值函数，满足：

（1）$P(\Omega)=1$ (规范性)

（2）对于 $ \forall A_i \in F,且 \forall i\not=j,A_i \cap A_j=\emptyset $ ，则：(可列累加性)

$P(\cup A_i)=\sum P(A_i)$

分布函数$F_x(a)$ 满足右连续，但不满足左连续