独立和相关

事件的独立

如果两个事件A1A_1A2A_2满足

P(A1A2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P(A_1 \cap A_2)=P(A_1A_2)=P(A_1)*P(A_2)

则称A1A_1A2A_2相互独立

如果两个事件各自概率不为0,若两者互斥,则两者不独立。

条件概率:A1A_1发生的条件下,A2A_2发生的概率

P(A2A1)=P(A1A2)P(A1)P(A_2|A_1)=\frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}

A1A_1A2A_2相互独立,则   P(A2A1)=P(A2)\ \ \ P(A_2|A_1)=P(A_2)

随机变量的独立

X1X_1X2X_2为两个随机变量,如果对于 $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B} $

P(x1B1,x2B2)=P(ω:X1(ω)B1,X2(ω)B2)=P(X1(ω)B1)P(X2(ω)B2)P(x_1 \in B_1,x_2 \in B_2)=P({\omega:X_1(\omega)\in B_1,X_2(\omega)\in B_2})\\ =P(X_1(\omega)\in B_1)P(X_2(\omega)\in B_2)

则称X1X_1X2X_2相互独立。

X1X_1X2X_2相互独立 等价于:

FX1,X2(x1,x2)=FX1(x1)FX2(x2)fX1,X2(x1,x2)=fX1(x1)fX2(x2)F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=F_{X_1}(x_1)F_{X_2}(x_2) \\ \Leftrightarrow f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)

σ\sigma代数的独立

F1\mathcal{F_1}F2\mathcal{F_2}为两个σ\sigma代数,若对于AF1,BF2\forall A\in \mathcal{F_1},B\in \mathcal{F_2},都有:

P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)

AABB独立,则称F1\mathcal{F_1}F2\mathcal{F_2}相互独立。

多个独立

A1,A2,...AnA_1,A_2,...A_nnn个事件,如果对于 2kn\forall \ 2\leq k\leq n及任意下标$1 \leq i_1 \leq i-2 \leq … \leq n $ 都有:

P(Ai1,Ai1,...,Aik)=P(Ai1)P(Ai2)...P(Aik)P(A_{i_1},A_{i_1},...,A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})...P(A_{i_k})

则称$A_1,A_2,…A_n $相互独立。(上式共有2nn12^n-n-1个)

X1,X2,...XnX_1,X_2,...X_nnn个随机变量,如果对于 2kn\forall \ 2\leq k\leq n及任意下标$1 \leq i_1 \leq i-2 \leq … \leq n $ 及任意的Bi1,Bi2,...,Bik\mathcal{B}_{i_1},\mathcal{B}_{i_2},...,\mathcal{B}_{i_k}

P(Xi1Bik,XikBik,...,XikBik)=P(Xi1Bi1)P(Xi2Bi2)...P(XikBik)P(X_{i_1} \in B_{i_k},X_{i_k} \in B_{i_k},...,X_{i_k} \in B_{i_k}) = P(X_{i_1} \in B_{i_1})P(X_{i_2} \in B_{i_2})...P(X_{i_k} \in B_{i_k})

则称X1,X2,...XnX_1,X_2,...X_n相互独立。

例高斯向量续:

XXYY独立,则

E(XY)=xyf(X,Y)(x,y) dxdy=xfX(x)dxyfY(y)dy=E(X)E(Y)E(XY)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} xy f_{(X,Y)}(x,y)\ dx dy\\ =\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx \int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy \\ =E(X)E(Y)

XXYY的协方差为0,则称XXYY不相关。ρXY=0\Rightarrow \rho_{XY}=0

XXYY相互独立 \Rightarrow f(X)f(X)g(Y)g(Y)互相独立

对于nn维高斯向量,分量之间相互独立 \Leftrightarrow 两两不相关

若高斯向量中各分量相互独立,则\sum为对角矩阵,密度函数化简为:

fX(x)=Πi=1n12πexp((xiμi)22σi2)f_X(x)=\large{\Pi_{i=1}^n} {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(x_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})}

关于独立与相关的辨析:

不相关是指的两个变量之间没有线性关系,并不一定没有其他关系。而独立指的是两个随机变量之间什么关系都没有.

例:

XN(0,1)Z{1     ,p=121,  p=12X \sim N(0,1) \\ Z \sim \begin{cases} 1\ \ \ \ \ ,p=\frac{1}{2} \\ -1,\ \ p=\frac{1}{2}\end{cases}

Y=XZY=XZ,可证:XXYY 不相关(相关系数为0)但是不独立(不满足P(XY)=P(X)P(Y)P(XY)=P(X)P(Y))。

两个高斯随机变量放一起并不一定是高斯随机向量。

(X,Y)不是高斯随机向量!!

why: 因为XXYY存在关联,导致定义域受到影响,如x取2时y只能取正负2,而高斯随机向量可以取全部。

*(X,Y)没有概率密度函数!(因为积分区域为Y=X和Y=-X,是两条线,面积为零,故找不到概率密度,使得积分之和为1)