独立和相关
事件的独立
如果两个事件A1和A2满足
P(A1∩A2)=P(A1A2)=P(A1)∗P(A2)
则称A1和A2相互独立
如果两个事件各自概率不为0,若两者互斥,则两者不独立。
条件概率:A1发生的条件下,A2发生的概率
P(A2∣A1)=P(A1)P(A1A2)
若A1和A2相互独立,则 P(A2∣A1)=P(A2)
随机变量的独立
X1和X2为两个随机变量,如果对于 $\forall B_1,B_2 \in \mathcal{B} $
P(x1∈B1,x2∈B2)=P(ω:X1(ω)∈B1,X2(ω)∈B2)=P(X1(ω)∈B1)P(X2(ω)∈B2)
则称X1和X2相互独立。
X1和X2相互独立 等价于:
FX1,X2(x1,x2)=FX1(x1)FX2(x2)⇔fX1,X2(x1,x2)=fX1(x1)fX2(x2)
σ代数的独立
F1和F2为两个σ代数,若对于∀A∈F1,B∈F2,都有:
P(AB)=P(A)P(B)
即A与B独立,则称F1和F2相互独立。
多个独立
设A1,A2,...An为n个事件,如果对于∀ 2≤k≤n及任意下标$1 \leq i_1 \leq i-2 \leq … \leq n $ 都有:
P(Ai1,Ai1,...,Aik)=P(Ai1)P(Ai2)...P(Aik)
则称$A_1,A_2,…A_n $相互独立。(上式共有2n−n−1个)
设X1,X2,...Xn为n个随机变量,如果对于∀ 2≤k≤n及任意下标$1 \leq i_1 \leq i-2 \leq … \leq n $ 及任意的Bi1,Bi2,...,Bik
P(Xi1∈Bik,Xik∈Bik,...,Xik∈Bik)=P(Xi1∈Bi1)P(Xi2∈Bi2)...P(Xik∈Bik)
则称X1,X2,...Xn相互独立。
例高斯向量续:
X和Y独立,则
E(XY)=∫−∞∞∫−∞∞xyf(X,Y)(x,y) dxdy=∫−∞∞xfX(x)dx∫−∞∞yfY(y)dy=E(X)E(Y)
若X与 Y的协方差为0,则称X与Y不相关。⇒ρXY=0
X与Y相互独立 ⇒ f(X)和g(Y)互相独立
对于n维高斯向量,分量之间相互独立 ⇔ 两两不相关
若高斯向量中各分量相互独立,则∑为对角矩阵,密度函数化简为:
fX(x)=Πi=1n2π1exp(−2σi2(xi−μi)2)
关于独立与相关的辨析:
不相关是指的两个变量之间没有线性关系,并不一定没有其他关系。而独立指的是两个随机变量之间什么关系都没有.
例:
X∼N(0,1)Z∼{1 ,p=21−1, p=21
令Y=XZ,可证:X与Y 不相关(相关系数为0)但是不独立(不满足P(XY)=P(X)P(Y))。
两个高斯随机变量放一起并不一定是高斯随机向量。
(X,Y)不是高斯随机向量!!
why: 因为X与Y存在关联,导致定义域受到影响,如x取2时y只能取正负2,而高斯随机向量可以取全部。
*(X,Y)没有概率密度函数!(因为积分区域为Y=X和Y=-X,是两条线,面积为零,故找不到概率密度,使得积分之和为1)