例 平稳高斯过程

高斯过程由期望函数和协方差函数决定

由严格平稳，有：
$$
\mu_X(s+h)=\mu_X(s) \
C_x(s,t)=C_x(s+h,t+h)
$$
即 $\forall t \in T$，有：
$$
\mu_x(t)=\mu_x(0) \
T=[0,T_0] \ \ \ C_x(t,s)=\tilde{C_x}(|t-s|)
其中\tilde{C_x}是一元函数
$$
对高斯过程严格平稳，意味着：

期望函数为常数，协方差函数仅依赖于时间间隔$|t-s|$

一般来说，如果一个过程$X$满足上述性质，就称之为**（宽）平稳过程或二次平稳过程**。

平稳增量

有时过程本身不满足平稳的条件，但其增量是平稳的。令$X=(X_t,t \in T)$是一个随机过程，$T\subset R $是一个区间，如果对于所有的 $t>s,\ t,s\in T$ 使得$t+h,s+h\in T$的$h$，有：
$$
X_t-X_s \overset{d}{=} X_{t+h}-X_{s+h}
$$
则称$X$是具有平稳增量的。

独立增量

如果对于任意的$t_i\in T$，且$t_1<t_2<…<t_n ,\ n\geq 1$，有$X_{t_2}-X_{t_1},X_{t_3}-X_{t_2},…,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ 是相互独立的随机变量，则称$X$具有独立增量。即不重合的时间区间上的增量独立。

平稳独立增量

如果随机过程$X$既具有平稳增量，又具有独立增量，则称$X$具有平稳独立增量（$Levy$过程）

两个代表性的$Levy$过程：齐次泊松过程和布朗运动

齐次泊松过程

随机过程($N_t\ ,\ t\in[0,\infty)$)称为齐次泊松过程或带有强度为$\lambda$或速率$\lambda >0$ 的泊松过程，如果满足：

  1. 过程从$0$出发 $(N_o=0)$

  2. 过程具有平稳独立增量

  3. $\forall t>0,N_t \sim P(\lambda t)$ (参数为$\lambda t$的泊松分布)，即：
    $$
    P(N_t=k)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t} \ \ \ ,k=0,1,2…
    $$

期望、方差

$$
E(N_t)=\lambda t \ Var(N_t)=\lambda t
$$

自相关系数

$$
R_N(t,s)=E[N_tN_s]
$$

当$t \geq s$时：
$$
R_N(t,s)=E[(N_t-N_s+N_s)N_s] \ =E[(N_t-N_s)N_s]-E[N_s^2] \ =E[N_t-N_s]E[N_s]-E[N_s^2] \ = \lambda(t-s)*(\lambda s)+\lambda s+(\lambda s)^2 \ = \lambda^2 ts+\lambda s
$$

同理，当$t \leq s $时：
$$
R_N(t,s)=\lambda^2 ts+\lambda t
$$
因此：
$$
R_N(t,s)=\lambda^2 ts+\lambda min(t,s)
$$

协方差函数

$$
C_N(t,s)=R_N(t,s)-E[N_t][N_s]=\lambda \ min(t,s)
$$

齐次泊松过程等价定义

$$
N_t= $ {n: T_n\leq t } ,t \geq 0
$$

其中$$ A$表示给定集合$A$中的元素个数。
$$
T_n=Y_1+Y_2+…+Y_n
$$
$Y_i$ 是相互独立的服从指数分布$Exp(\lambda)$的独立同分布的序列。

$Y_i$是第$i-1$次跳跃到第$i$次跳跃的时间间隔，$T_n$是发生第$n$次跳跃的时刻。

一个计数过程，如果事件发生的间隔时间是独立同分布的指数随机变量，这个计数过程就是泊松过程。

*练习

设${N_t,t\geq0 }$是强度为$\lambda$的泊松过程，令$M_t=\int_{0}^t N_s ds ,t \geq 0$,计算$E[M_t]$和$Var(M_t)$
$$
E[M_t]=\int_{0}^t E[N_s] ds =\int_{0}^t \lambda s \ ds =0.5\lambda t^2
$$

$$
Var(M_t)=E[M_t^2]-E^2[M_t]
$$

$$
E[M_t^2]=E[(\int_{0}^t N_s ds)^2]=E[(\int_{0}^t N_s ds)(\int_{0}^t N_r dr)] \ =E[(\int_{0}^t \int_{0}^t N_s N_r ds dr)] \
=\int_{0}^t \int_{0}^t E[N_s N_r] ds dr \=\int_{0}^t \int_{0}^t( \lambda^2 sr+\lambda min(s,r))\ ds dr \
=\frac{1}{4}\lambda^2 t^4+\frac{1}{3}\lambda t^3
$$