【随机分析（六）】布朗运动

布朗运动

定义：

如果随机过程$B=(B_t,t \geq 0)$ ，满足：

从零点出发，$B_0=0$
具有平稳独立增量
$\forall t>0, B_t \sim N(0,t)$
具有连续样本轨道，没有跳跃点

则称 $B$ 为标准布朗运动（维纳过程（$Wiener$））

有限维分布：

$(B_{t_1},B_{t_2},…,B_{t_n})$ 的分布是高斯分布，因此布朗运动是高斯过程。

* 练习：

求$(B_{t_1},B_{t_2},…,B_{t_n})$ 的分布密度函数中的$\mu$ 和 $\Sigma$

解题思路：$B_{t_i}$彼此之间不独立，求解很困难，可以变化成独立的各分量，再变化回来

期望

$$
\mu_B(t)=E[B_t]=0
$$

方差

$$
\sigma^2_{B}(t)=Var(B_t)=t
$$

协方差

$$
C_B(t,s)=E[B_tB_s]=min(s,t)
$$

自相关系数

$$
R_B(t,s)=E[B_tB_s]=min(s,t)
$$

等价定义

布朗运动是期望值函数为$0$，协方差函数为$min(t,s)$的高斯过程。

样本轨道

练习

用$MATLAB$或$Python$模拟布朗运动的轨道 $T=[0,1], N=1000000$

布朗运动几乎必然是处处连续处处不可导

*几乎必然：$P(A)=1$

H-自相似

对于某个$H>0$，如果随机过程$(X_t,t\in[0,\infty])$的有限维分布满足：
$$
(a^HX_{t_1},a^HX_{t_2},…,a^HX_{t_n}) \overset{d}{=} (X_{at_{1}},X_{at_{2}}…X_{at_{n}})
$$
对$\forall a>0 ,t_i \geq0,i=1,2…n,n \geq 1$成立，则称随机过程$(X_t,t\in[0,\infty])$是H-自相似的