【计量经济学（七）】 多元回归：深入专题
更多的方程形式
标准化—z分数
进行标准化处理，令：
$$
z_i=\frac{x_i-\bar{x}_i}{\hat{\sigma_i}}
$$
则有：
$$
\hat{b}_i=\frac{\hat{\sigma}_i}{\hat{\sigma}_y}\hat{\beta_i}
$$
我们称 $\hat{b_i}$ 为标准化系数 或 $\beta$系数，其含义是$x_i$提高一倍标准差，那么$\hat{y}$就变化$\hat{b}_i$倍的标准差。
对数形式
Type 1
$$
y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon
$$
Type 2
$x$变化一个单位，$y$就变化一个单位
$$
y_i=\beta_0+\beta_1log(x_i)+\epsilon
$$
$$
\Delta y= \beta_1 \frac{\Delta x}{x}
$$
$x$变化$1%$，$y$就变化$\beta_1/100$个单位
Type 3
$$
log(y_i)=\beta_0+\beta_1 x_i+\epsilon
$$
$$
\frac{1}{y}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\beta_1 \
\frac{\Delta y}{y}=\beta_1 \Delta x
$$
$x$变化一个单位，$y$就变化$\pmb{100\beta_1 %}$
这是一个近似的结果，仅当$\Delta y$较小时成立，
$y$的百分比变化的精确值为：
$$
\Delta \hat{y}\ % =100(e^{\hat{\beta_i}\Delta x_i}-1)
$$
推导：
$$
\Delta log(y)=\beta \Delta x
$$
$$
\Delta log(y)=log(y’)-log(y)=log(\frac{y+\Delta y}{y})=log(1+\frac{\Delta y}{y})=\beta \Delta_x \
\Delta \hat{y}\ % =100(e^{\hat{\beta_i}\Delta x_i}-1)
$$
Type 4
$$
log(y_i)=\beta_0+\beta_1log(x_i)+\epsilon
$$
$x$变化 $1 % $，$y$变化$\beta_1 % $
对数形式的其他问题
- 对数变量的系数与测量单位无关
例如：$x$代表钱，分别用元和万元做单位时，其回归式如下：
$$
log(y_i)=\beta_0+\beta_1log(x_i)+\epsilon
$$
$$
log(y_i)=\beta_0+\beta_1log(x_i/10000)+\epsilon
$$
上述两式的回归系数是相同的。
- 有些变量取对数后更倾向于服从正态性($normality$)和同方差性($homoscedasticity$)，更容易服从$CLM$假定
- 部分变量不能取对数，如：年（受教育年限、工作年限、年龄）、一些以百分比形式的变量
- 如果变量有零值或负值（取不了对数），或者0到1之间（取对数后会出现较大负值）
- 潜在好处是可以缩小变量的取值范围，使$OLS$的估计值对异常观察不那么敏感。适用于：大额货币值、销售额、薪水、人口
二次型
例如，薪资方程
$$
\hat{wage}=\beta_0+\beta_1 exper+\beta_2 exper^2
$$
对两边求导：
$$
\frac{\partial wage}{\partial exper} =\beta_1 +2\beta_2 exper
$$
体现为关于$exper$的边际影响
交互项 （$interaction\ terms$）
$$
log(price)=\beta_0+\beta_1 sqrft+\beta_2 bdrms +\beta_3 \pmb{qrft*bdrms}+u
$$
交叉项：房屋面积*卧室数量
设置交叉项的思想是，对于面积不同的房屋，卧室数量可能会对价格产生不同的影响。
$$
\frac{\partial log(price)}{\partial bdrms}=\beta_2+\beta_3 sqrft
$$
据此，卧室数量对房价的影响取决于房屋面积的水平。
对于存在交互项的情况，我们通常做均值化处理
$$
y= \beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2 +\beta_3 x_1 x_2 +u
$$
$$
y=\alpha_0+\delta_2 x_2 +\beta_3(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2) + u
$$
这样调整可以使系数更具有经济含义。
交互项通常和虚拟变量一同使用。
拟合优度$R^2$
一个很高的$R^2$并不意味着存在因果关系
普通$R^2$
$$
R^2=1-SSR/SST=1-\frac{SSR/n}{SST/n}
$$
普通$R^2$的问题是，只要解释变量越多，$R^2$就越大。（why？）
从经济学的角度，$R^2$衡量的是$y$的波动有多少比例可以由$x$的波动解释，而$y$的波动由$x$和$u$的波动共同造成。当我们增加解释变量时，相当于把一部分$u$中的变量放到了$x$中，这自然会导致$x$波动的解释能力变强。
严格的数学证明：
总体$R^2$（$population\ R-squared$）被定义为：
$$
P^2 = 1-\sigma_u^2/\sigma_y^2
$$
而使用$SSR/n$和$SST/n$分别对$\sigma_u^2$和$\sigma_y^2$估计都是有偏的，故考虑使用无偏估计量进行调整
调整$R^2$
$$
\bar{R}^2=1-\frac{SSR/(n-k-1)}{SST/(n-1)}
$$
调整分子分母的自由度，使得是无偏的。注意，不能说$R^2$是无偏的，因为两个无偏估计量之比未必是一个无偏估计量。
自变量的增加不会必然导致$\bar{R}^2$的增加，因为$SSR/(n-k-1)$分子分母同增同减。
当且仅当，增加的变量的t统计量大于1，调整$R^2$才会增加；推广：当增加一组变量时，当且仅当新变量的联合显著性$F$统计量大于1，调整$R^2$才会增加。
普通$R^2$与调整$R^2$的关系
$$
\bar{R}^2=1-\frac{(1-R^2)(n-1)}{n-k-1}
$$
普通$R^2$的范围是$[0,1]$，而调整$R^2$可能取负值，代表模型很糟糕。
我们不能使用$R^2$和调整$R^2$来比较自变量定义不同的模型，因为在不同的自变量定义情况下，所需要解释的总平方和是不同的，因此使用$R^2$作为比较标准是不公平的。
如何确定添加哪些变量
如果变量$X$通过影响$M$来影响$Y$，那么当我们研究$X$对$Y$的影响时，我们的模型就不应该控制$M$（即不要把$M$放到自变量中）
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