$\sigma$域流

如果$\Omega$上的一族$\sigma$ 域$(F_t,t \geq 0)$ 满足：对所有的$0\leq s\leq t$，都有：
$$
F_s \ \subset F_t
$$
则称$(F_t,t \geq 0)$ 为 $\sigma$ 域流，显然一个$\sigma$ 域流是一个信息递增的流。

如果对所有的$t \geq 0$ ，有：
$$
\sigma(Y_t) \subset F_t
$$
则称随机过程$Y=(Y_t\ ,t \geq 0)$ 适应于 $\sigma$ 域流$(F_t,t \geq 0)$ 。随机过程$Y$总是适应于由$Y$ 产生的自然$\sigma$ 域流：
$$
F_t = \sigma(Y_s,s \leq t)
$$

鞅

给定$\sigma$域流 $(F_t\ ,\ t \geq 0)$，如果随机过程$X=(X_t,t \geq 0 )$满足条件：

  • 对所有的$t \geq 0 $有 $E[X_t] < +\infty$
  • $X$适应于 $(F_t)$
  • 对所有的 $0 \leq s<t$，有$X_s$是给定$F_s$下对$X_t$的最优预测：

$$
E(X_t|F_s)=X_s
$$

则称 $X=(X_t,t \geq0)$为关于$\sigma$ 域流 $(F_t\ ,\ t \geq 0)$的连续时间鞅，记为$(X,(F_t))$

对上式两边取期望，可得：
$$
E(X_s)=E(E(X_t|F_s))=E(X_t)
$$
于是鞅的期望函数为常数。

用公平赌博来解释鞅的概念

略。