【计量经济学（八）】含有定性信息的多元回归分析

wage=\beta_0+\delta_0 female+\beta_1 educ+u

虚拟变量： $female$ ：

female = \begin{cases} 1 , if \ the\ person\ is\ female \\ 0 , if \ the\ person\ is\ male \end{cases}

$\delta_0$ 的含义：给定同等受教育程度，女性和男性在小时工资上的差异。

\delta_0=E(wage|female=1)-E(wage|female=0)

$\delta_0$ 排除了受教育年限的影响，比如有人辩解称男女薪资差异来源于受教育年限，但 $\delta_0$ 表明即使控制了受教育年限，男女薪资依然存在差异。

不能写成如下方程：

wage=\beta_0+\delta_0 female+\lambda_0 male +\beta_1 educ+u

因为在这种情况下：

female+male=1

而 $\beta_0$ 对应的变量值为1，故具有严格的线性关系，此时回归方程误解。

一种少用但可行的改写方式：

wage=\delta_0 female+\lambda_0 male +\beta_1 educ+u

此时方程有解，但回归系数的含义不好解释，故很少使用。

\hat{log(wage)}=0.321-0.110female+0.213married-0.301female*married+...

其本质是多个虚拟变量的变形。

四组人：已婚男性、已婚女性、单身男性和单身女性，如果以单身男性为基准组，则其余三个变量的系数都是衡量与单身男性相比的结果。

数字的大小只起到排序的作用，其绝对差值没有实际意义。如信用评级、排名…

处理方法，对 $n$ 个等级，设置 $n-1$ 个虚拟变量。则 $\delta_i$ 表示与等级为 $i$ 的变量与基准组相比，在 $y$ 上的差异。

例：

MBR=\beta_0+\beta_1 CR+其他因素

MBR=\beta_0+\delta_1 CR_1+\delta_2 CR_2+\delta_3 CR_3+\delta_4 CR_4+其他因素

log(wage)=\beta_0+\delta_0 female+ \beta_1educ+\delta_1 female*educ+u

代入女性 $female=1$ ：

log(wage)=\beta_0+\delta_0+(\beta_1+ \delta_1) educ+u

代入男性 $female=0$ ：

log(wage)=\beta_0=\beta_1 educ +u

所以：

\beta_0 :男性截距项 \\ \beta_1 :男性教育对工资的影响 \\ \beta_0+\delta_0 :女性的截距项 \\ \beta_1+\delta_1 :女性教育对工资的影响

如何检验教育水平对男女工资影响相同？即检验 $\delta_1=0$

如何检验男女工资方程相同？即检验 $\delta_0=0,\delta_1=0$

假设有一个影响因素 $X$ ，如何检验 $X$ 对男女的影响是否一致？

在回归方程中加入：

\beta_1 X+\delta_1 female*X

则 $X$ 对男性影响为 $\beta_1$ ，对女性影响为 $\beta_1+\delta_1$

注意，截距项也应改为 $\beta_0+\delta_0 female$ ，因为截距项可以理解为恒为1的一个自变量，故也要考虑性别因素。

检验回归模型是否完全无差别需要检验：

H_0: \delta_0=0,\delta_1=1,...,\delta_k=k,

此时使用 $F$ 检验。

因变量 $y$ 只能取0或1

y=\beta_0+\beta_1x_1+...+\beta_k x_k +u

E(y|x)=\beta_0+\beta_1x_1+...+\beta_k x_k

因为 $y$ 是离散的，只能取0或1，故：

E(y|X)=1*P(y=1|x)+0*P(y=0|x)=P(y=1|x)

故称为线性概率模型（ $LPM$ ） $(Linear\ probability\ model)$

\beta_j=\frac{\partial P(y=1|x)}{\partial x_j}

当 $y$ 是一个二值变量时，其以 $X$ 为条件的方差为：

Var(y|X)=p(X)[1-p(X)]

其中 $p(X)$ 为成功的概率，即：

p(X)=\beta_0+\beta_1x_1+...+\beta_k x_k