时间序列数据的u或许存在相关性,这个性质成为序列相关
关于误差项的三个问题
(1)误差项与自变量是否相关
(2)误差项方差是否相同
(3)是否序列相关
时间序列回归模型的例子
静态模型
yt=β0+β1zt+ut
有限分布滞后模型
容许一个或多个变量对 y 的影响有一定的时滞,例如:
yt=α0+δ0zt+δ1zt−1+δ2zt−2+ui
如果冲击是暂时的,则只会影响一期:
zt−syt=δs
如果冲击是永久的,则影响为:
δ0+δ1+...+δq
有限样本性质
Assumption TS.1 线性于参数(Linear in parameters)
yt=β0+β1xt1+β2xt2+...+βkxtk+ut
Assumption TS.2 无完全共线性(No perfect collinearity)
没有一个自变量是常数或是其他变量的完美线性组合
Assumption TS.3 零条件均值(Zero conditional mean)
E(ut∣X)=0
X为一个矩阵,代表了所有时期的所有自变量,即ut不受所有时间自变量影响。
为什么对于横截面数据只需要满足E(ut∣Xt)=0 ?
因为横截面数据满足随机抽样假设,该假设意味着:
1、ui与其它样本的X不相关
2、ui与其它样本的u不相关
而时间序列数据不满足随机抽样假设,即不满足“ui与其它样本的X不相关”,需要更强的限制条件。
Theorem 10.1(Unbiasedness of OLS)
在TS.1−TS.3下,我们有:
E(βj^)=βj
Assumption TS.4 (Homoscedasticity)
Var(ut∣X)=Var(ut)=σ2
Assumption TS.5 无序列相关(No serial correlation)
Corr(ut,us∣X)=0, t=s
为什么横截面数据没有这个假设?因为横截面数据为随机抽样。该假设对应了"ui与其它样本的u不相关"。
Theorem 10.2 OLS的样本方差
在TS.1−TS.5下:
Var(βj^∣X)=SSTj(1−Rj2)σ2
其中:
SSTj=i=1∑n(xij−xˉj)2
R2是xj对所有其他自变量进行回归得到的R2
Theorem 10.3 方差无偏估计
在TS.1−TS.5下:
E(σ^2)=σ2
其中:
σ2^=n−k−1SSR
Theorem 10,4 高斯—马尔科夫定理
在TS.1−TS.5下,OLS估计值是方差最小的线性无偏估计值。
Assumption TS.6 正态性(Normality)
ut∼N(0,σ2)
时间趋势
线性时间趋势模型
yt=α0+α1t+et
et是误差项,t代表时间,取值1,2,...
指数时间趋势模型
log(yt)=α0+α1t+et
于是:
∂t∂yt/yt=a1
α1衡量了平均的增长率。
时间趋势的作用
如果有时间趋势的变量之间回归,可能会由于共同趋势而产生伪关系,因此我们需要进行除趋势(detrending)
处理方法:
方法一:在回归中增加自变量 t。
yt=β0+β1xt1+β2xt2+β3t+ut
方法二:
第一步:将yt,xt1,xt2分别对t回归,得到残差项yt′,xt1′,xt2′,例如:yt′=yt−α0^−α1^t
第二步:将yt′对xt1′和xt2进行回归,得到的方程与方法一完全一致。
季节性模型
加入一系列的季节性变量。