时间序列数据的$u$或许存在相关性，这个性质成为序列相关

关于误差项的三个问题

（1）误差项与自变量是否相关

（2）误差项方差是否相同

（3）是否序列相关

时间序列回归模型的例子

静态模型

$$
y_t=\beta_0+\beta_1z_t+u_t
$$

有限分布滞后模型

容许一个或多个变量对 $y$ 的影响有一定的时滞，例如：
$$
y_t=\alpha_0+\delta_0z_t+\delta_1z_{t-1}+\delta_2z_{t-2}+u_i
$$
如果冲击是暂时的，则只会影响一期：
$$
\frac{y_t}{z_{t-s}}=\delta_s
$$
如果冲击是永久的，则影响为：
$$
\delta_0+\delta_1+…+\delta_q
$$

有限样本性质

Assumption TS.1 线性于参数($Linear\ in\ parameters$)

$$
y_t=\beta_0+\beta_1 x_{t1}+\beta_2 x_{t2}+…+\beta_k x_{tk}+u_t
$$

Assumption TS.2 无完全共线性（$No\ perfect\ collinearity$）

没有一个自变量是常数或是其他变量的完美线性组合

Assumption TS.3 零条件均值（$Zero\ conditional\ mean$）

$$
E(u_t|X)=0
$$

$X$为一个矩阵，代表了所有时期的所有自变量，即$u_t$不受所有时间自变量影响。

为什么对于横截面数据只需要满足$E(u_t|X_t)=0$ ？

因为横截面数据满足随机抽样假设，该假设意味着：

1、$u_i$与其它样本的$X$不相关

2、$u_i$与其它样本的$u$不相关

而时间序列数据不满足随机抽样假设，即不满足“$u_i$与其它样本的$X$不相关”，需要更强的限制条件。

Theorem 10.1($Unbiasedness\ of\ OLS$)

在$TS.1-TS.3$下，我们有：
$$
E(\hat{\beta_j})=\beta_j
$$

Assumption TS.4 ($Homoscedasticity$)

$$
Var(u_t|X)=Var(u_t)=\sigma^2
$$

Assumption TS.5 无序列相关（$No\ serial\ correlation$）

$$
Corr(u_t,u_s|X)=0,\ \ \ t\not =s
$$

为什么横截面数据没有这个假设？因为横截面数据为随机抽样。该假设对应了"$u_i$与其它样本的$u$不相关"。

Theorem 10.2 OLS的样本方差

在$TS.1-TS.5$下：
$$
Var(\hat{\beta_j}|X)=\frac{\sigma^2}{SST_j(1-R_j^2)}
$$
其中：
$$
SST_j=\sum_{i=1}^n(x_{ij}-\bar{x}_j)^2
$$
$R^2$是$x_j$对所有其他自变量进行回归得到的$R^2$

Theorem 10.3 方差无偏估计

在$TS.1-TS.5$下：
$$
E(\hat{\sigma}^2)=\sigma^2
$$
其中：
$$
\hat{\sigma^2}=\frac{SSR}{n-k-1}
$$

Theorem 10,4 高斯—马尔科夫定理

在$TS.1-TS.5$下，$OLS$估计值是方差最小的线性无偏估计值。

Assumption TS.6 正态性（$Normality$）

$$
u_t \sim N(0,\sigma^2)
$$

时间趋势

线性时间趋势模型

$$
y_t=\alpha_0+\alpha_1t+e_t
$$

$e_t$是误差项，$t$代表时间，取值$1,2,…$

指数时间趋势模型

$$
log(y_t)=\alpha_0+\alpha_1t+e_t
$$

于是：
$$
\frac{\partial y_t/y_t}{\partial t}=a_1
$$
$\alpha_1$衡量了平均的增长率。

时间趋势的作用

如果有时间趋势的变量之间回归，可能会由于共同趋势而产生伪关系，因此我们需要进行除趋势($detrending$)

处理方法：

方法一：在回归中增加自变量 $t$。
$$
y_t=\beta_0+\beta_1x_{t1}+\beta_2 x_{t2}+\beta_3t+u_t
$$
方法二：

​ 第一步：将$y_t,x_{t1},x_{t2}$分别对$t$回归，得到残差项$y_t’,x_{t1}‘,x_{t2}’$，例如：$y_t’=y_t-\hat{\alpha_0}-\hat{\alpha_1}t$

​ 第二步：将$y_t’$对$x_{t1}'$和$x_{t2}$进行回归，得到的方程与方法一完全一致。

季节性模型

加入一系列的季节性变量。