时间序列数据的uu或许存在相关性,这个性质成为序列相关

关于误差项的三个问题

(1)误差项与自变量是否相关

(2)误差项方差是否相同

(3)是否序列相关

时间序列回归模型的例子

静态模型

yt=β0+β1zt+uty_t=\beta_0+\beta_1z_t+u_t

有限分布滞后模型

容许一个或多个变量对 yy 的影响有一定的时滞,例如:

yt=α0+δ0zt+δ1zt1+δ2zt2+uiy_t=\alpha_0+\delta_0z_t+\delta_1z_{t-1}+\delta_2z_{t-2}+u_i

如果冲击是暂时的,则只会影响一期:

ytzts=δs\frac{y_t}{z_{t-s}}=\delta_s

如果冲击是永久的,则影响为:

δ0+δ1+...+δq\delta_0+\delta_1+...+\delta_q

有限样本性质

Assumption TS.1 线性于参数(Linear in parametersLinear\ in\ parameters)

yt=β0+β1xt1+β2xt2+...+βkxtk+uty_t=\beta_0+\beta_1 x_{t1}+\beta_2 x_{t2}+...+\beta_k x_{tk}+u_t

Assumption TS.2 无完全共线性(No perfect collinearityNo\ perfect\ collinearity

没有一个自变量是常数或是其他变量的完美线性组合

Assumption TS.3 零条件均值(Zero conditional meanZero\ conditional\ mean

E(utX)=0E(u_t|X)=0

XX为一个矩阵,代表了所有时期的所有自变量,即utu_t不受所有时间自变量影响。

为什么对于横截面数据只需要满足E(utXt)=0E(u_t|X_t)=0

因为横截面数据满足随机抽样假设,该假设意味着:

1、uiu_i与其它样本的XX不相关

2、uiu_i与其它样本的uu不相关

而时间序列数据不满足随机抽样假设,即不满足“uiu_i与其它样本的XX不相关”,需要更强的限制条件。

Theorem 10.1(Unbiasedness of OLSUnbiasedness\ of\ OLS)

TS.1TS.3TS.1-TS.3下,我们有:

E(βj^)=βjE(\hat{\beta_j})=\beta_j

Assumption TS.4 (HomoscedasticityHomoscedasticity)

Var(utX)=Var(ut)=σ2Var(u_t|X)=Var(u_t)=\sigma^2

Assumption TS.5 无序列相关(No serial correlationNo\ serial\ correlation

Corr(ut,usX)=0,   tsCorr(u_t,u_s|X)=0,\ \ \ t\not =s

为什么横截面数据没有这个假设?因为横截面数据为随机抽样。该假设对应了"uiu_i与其它样本的uu不相关"。

Theorem 10.2 OLS的样本方差

TS.1TS.5TS.1-TS.5下:

Var(βj^X)=σ2SSTj(1Rj2)Var(\hat{\beta_j}|X)=\frac{\sigma^2}{SST_j(1-R_j^2)}

其中:

SSTj=i=1n(xijxˉj)2SST_j=\sum_{i=1}^n(x_{ij}-\bar{x}_j)^2

R2R^2xjx_j对所有其他自变量进行回归得到的R2R^2

Theorem 10.3 方差无偏估计

TS.1TS.5TS.1-TS.5下:

E(σ^2)=σ2E(\hat{\sigma}^2)=\sigma^2

其中:

σ2^=SSRnk1\hat{\sigma^2}=\frac{SSR}{n-k-1}

Theorem 10,4 高斯—马尔科夫定理

TS.1TS.5TS.1-TS.5下,OLSOLS估计值是方差最小的线性无偏估计值。

Assumption TS.6 正态性(NormalityNormality

utN(0,σ2)u_t \sim N(0,\sigma^2)

时间趋势

线性时间趋势模型

yt=α0+α1t+ety_t=\alpha_0+\alpha_1t+e_t

ete_t是误差项,tt代表时间,取值1,2,...1,2,...

指数时间趋势模型

log(yt)=α0+α1t+etlog(y_t)=\alpha_0+\alpha_1t+e_t

于是:

yt/ytt=a1\frac{\partial y_t/y_t}{\partial t}=a_1

α1\alpha_1衡量了平均的增长率。

时间趋势的作用

如果有时间趋势的变量之间回归,可能会由于共同趋势而产生伪关系,因此我们需要进行除趋势(detrendingdetrending)

处理方法:

方法一:在回归中增加自变量 tt

yt=β0+β1xt1+β2xt2+β3t+uty_t=\beta_0+\beta_1x_{t1}+\beta_2 x_{t2}+\beta_3t+u_t

方法二:

​ 第一步:将yt,xt1,xt2y_t,x_{t1},x_{t2}分别对tt回归,得到残差项yt,xt1,xt2y_t',x_{t1}',x_{t2}',例如:yt=ytα0^α1^ty_t'=y_t-\hat{\alpha_0}-\hat{\alpha_1}t

​ 第二步:将yty_t'xt1x_{t1}'xt2x_{t2}进行回归,得到的方程与方法一完全一致

季节性模型

加入一系列的季节性变量。