随机积分

考虑下列积分：

∫0tBsdBs\int_{0}^t B_s d B_s

我们不能使用传统的黎曼积分进行定义，而要采用一种新的定义方法。定义：

In=∑i=0n−1Bti(Bti+1−Bti)I_n = \sum_{i=0}^{n-1} B_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})

其中，Π\Pi代表一种划分：0=t0<t1<...<tn=t0=t_0<t_1<...<t_n=t

首先，我们有：

Bt2=∑i=0n−1(Bti+12−Bti2)=∑i=0n−1(Bti+1−Bti)2+2∑i=1n−1Bti(Bti+1−Bti)B_t^2=\sum_{i=0}^{n-1} (B^2_{t_{i+1}}-B^2_{t_i}) \\ =\sum_{i=0}^{n-1}(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}})^2+2\sum_{i=1}^{n-1}B_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})

于是：

In=∑i=0n−1Bti(Bti+1−Bti)=12Bt2−12∑i=0n−1(Bti+1−Bti)2I_n = \sum_{i=0}^{n-1} B_{t_i}(B_{t_{i+1}}-B_{t_i}) \\ =\frac{1}{2}B_t^2-\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}})^2

考虑定义L2L^2极限：

设{Xn}\{X_n\}是一列随机变量，XX是随机变量，若 $\lim E(|X_n-X|^2)=0 ，则称，则称{X_n}的的L^2极限是极限是X$。

我们知道：

E[∑i=0n−1(Bti+1−Bti)2]=∑i=0n−1E[(Bti+1−Bti)2]=∑i=0n−1(ti+1−ti)=tE[\sum_{i=0}^{n-1}(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}})^2]=\sum_{i=0}^{n-1}E[(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}})^2]=\sum_{i=0}^{n-1}(t_{i+1}-t_i)=t

可以证明：

Var[∑i=0n−1(Bti+1−Bti)2]=0Var[\sum_{i=0}^{n-1}(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}})^2]=0

故：

∫0tBsdBs=12Bt2−12t\int_{0}^t B_s d B_s=\frac{1}{2}B_t^2-\frac{1}{2}t

我们发现，不同于一般函数二次变差为00，布朗运动的二次变差为tt，这是区别与传统黎曼积分的主要不同点。

两个无穷小量的比较

记dBtd B_t为 Bti+1−BtiB_{t_{i+1}}-B_{t_i}的极限(as Δ→0)(as\ \Delta \rightarrow 0)，（这个极限其实不存在，但我们依旧用这种形式记录）那么:

E[(dBt)2]=dtVar[(dBt2)]=2dt2E[(dB_t)^2]=dt\\ Var[(dB_t^2)]=2 dt^2

忽略高阶小量，我们认为：

(dBt)2=dt(d B_t)^2=dt

即随机变量(dBt)2(dB_t)^2是与dtd_t同阶的确定的无穷小量，这代表了一种尺度的比较，即布朗运动上的单位长度的平方是和时间轴上的单位长度是相等的关系。

该性质也表明了布朗运动处处连续但几乎处处不可微，因为

∣Bt+Δt−Bt∣≃Δt|B_{t+\Delta t}-B_t|\simeq\sqrt{\Delta t}

从而下面的极限是不存在的。：

lim⁡Δt→0Bt+Δt−BtΔt\lim_{\Delta t\to 0}\frac{B_{t+\Delta t}-B_t}{\Delta t}

伊藤积分

简单过程的伊藤积分

简单过程

如果过程C={Cs,0≤s≤t}C=\{C_s,0\leq s\leq t \} 满足以下形式：

Cs={Zn   s=TZi,  ti≤s<ti+1C_s= \begin{cases} Z_n \ \ \ s=T \\ Z_i,\ \ t_i\leq s<t_{i+1} \end{cases}

其中{Zi,0≤i≤n}\{Z_i,0\leq i\leq n \}是随机变量序列，且ZiZ_i关于FtiF_{t_i}可测，且E(∣Zi∣2)<+∞,∀0≤i≤nE(|Z_i|^2) <+\infty,\forall 0\leq i \leq n，则称CC为简单过程。

定义简单过程在[0,T][0,T]的伊藤积分为：

It(C)=∫0tCsdBs=∑i=0k−1Zi(Bti+1−Bti)+Zk(Bt−Btk)I_t(C)=\int_{0}^t C_s dB_s=\sum_{i=0}^{k-1}Z_i(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})+Z_k(B_t-B_{t_k})

简单过程伊藤积分的性质

1、随机过程{It(C),0≤t≤T}\{I_t(C),0\leq t\leq T \}是一个鞅

证明：

等价于证明：E[It(C)∣Fs]=Is(c)E[I_t(C)|F_s]=I_s(c)

E[It(C)∣Fs]=E[∑i=0k−1Zi(Bti+1−Bti)∣Fs]+E[Zk(Bt−Btk)]=E[∑i=0j−1Zi(Bti+1−Bti)∣Fs]+E[∑i=jk−1Zi(Bti+1−Bti)∣Fs]+0=Is(C)+0=Is(C)E[I_t(C)|F_s]=E[\sum_{i=0}^{k-1}Z_i(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})|F_s]+E[Z_k(B_t-B_{t_k})] \\ =E[\sum_{i=0}^{j-1}Z_i(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})|F_s]+E[\sum_{i=j}^{k-1}Z_i(B_{t_{i+1}}-B_{t_i})|F_s]+0 \\ =I_s(C)+0=I_s(C)

因为鞅的期望为常数，故伊藤随机积分的期望为零。

2、伊藤等距

E[(∫0TCsdBS)2]=E[∫0TCs2ds]E[(\int_{0}^T C_s dB_S)^2]=E[\int_{0}^{T}C_s^2 d_s]

证明略。

3、线性性质

∫0t[c1Cs(1)+c2Cs(2)]dBs=c1∫0tCs(1)dBs+c2∫0tCs(2)dBs\int_{0}^{t}[c_1 C_s^{(1)}+c_2 C_s^{(2)}]dB_s=c_1\int_{0}^{t}C_s^{(1)}dB_s+c_2\int_{0}^tC_s^{(2)}dB_s

4、相邻区间可加性

∫0TCsdBS=∫0tCsdBS+∫0tCsdBS\int_{0}^{T}C_s d B_S=\int_{0}^{t}C_s d B_S+\int_{0}^{t}C_s d B_S

5、有连续样本轨道

证明：

It(C)=Iti−1(C)+Zi(Bt−Bti−1)I_t(C)=I_{t_{i-1}}(C)+Z_i(B_t-B_{t_{i-1}})

又因为布朗运动轨道是连续的，故得证。

一般过程的伊藤积分

设C={Cs,0≤s≤T}C=\{C_s,0\leq s\leq T \}满足：

  • 关于{Fs,0≤s≤T}\{F_s,0\leq s\leq T \}适应的过程

  • 平方可积：E[∫0TCs2ds]<+∞E[\int_{0}^{T}C_s^2 ds]<+\infty

    则存在一列简单过程{Cs(n),0≤s≤T}\{C_s^{(n)},0\leq s\leq T \}，使得C(n)→CC^{(n)}\to C

    对于{Cs(n),0≤s≤T}\{C_s^{(n)},0\leq s\leq T \}可定义伊藤积分：

    IT(C(n))=∫0TCs(n)dBsI_T(C^{(n)})=\int_{0}^{T} C_s^{(n)} dB_s

    且IT(C(n))I_T(C^{(n)})收敛，记其极限为IT(C)I_T(C)，则称IT(C)I_T(C)是{Cs,0≤s≤T}\{C_s,0\leq s\leq T \}的伊藤积分，记为:

    IT(C)=∫0TCsdBSI_T(C)=\int_{0}^{T} C_s dB_S