【随机分析（十）】伊藤公式与随机微分方程

伊藤公式

引理：设$X=\{X_t,t\in[0,T] \}$是如下形式的伊藤过程。

$X_t=X_0+\int_{0}^{t}\alpha_s \mathrm{d}B_s+\int_{0}^{t}\beta_s \mathrm{d}s$

设$f(t,x)$的偏导数\frac{\part f}{\part t},\frac{\part f}{\part x},\frac{\part^2 f}{\part x^2}都存在且连续，则：

$Y=\{Y_t,t\in [0,T] \}=\{f(t,X_t),t\in [0,T] \}$

也是伊藤过程，且：

Y_t=f(t,X_t)=f(0,X_0)+\int_{0}^{t}[\frac{\part f}{\part t}(s,X_s)+\frac{\part f}{\part x}(s,X_s)\beta_s+\frac{1}{2}\frac{\part^2 f}{\part x^2}(s,X_s)\alpha_s^2] \mathrm{d}s+\int_{0}^{t}[\frac{\part f}{\part x}(s,X_s)\alpha_s] \mathrm{d}B_s

微分形式：

\mathrm{d}Y_t=\mathrm{d} f(t,X_t)=\frac{\part f}{\part t}(t,X_t)\mathrm{d}t+\frac{\part f}{\part X}(t,X_t)\mathrm{d}X_t+\frac{1}{2}\frac{\part^2 f}{\part x^2}(t,X_t)(\mathrm{d}X_t)^2

而我们知道：

$(\mathrm{d}X_t)^2=(\alpha_t \mathrm{d}B_t+\beta_t \mathrm{d}t)^2=\alpha_t^2(\mathrm{d}B_t)^2=\alpha_t^2\mathrm{d}t$

所以：

\mathrm{d}Y_t=[\frac{\part f}{\part t}(t,X_t)+\frac{1}{2}\alpha_t^2\frac{\part^2 f}{\part x^2}(t,X_t)]\mathrm{d}t+\frac{\part f}{\part X}(t,X_t)\mathrm{d}X_t \\ =[\frac{\part f}{\part t}(t,X_t)+\beta_t\frac{\part f}{\part x}(t,X_t)+\frac{1}{2}\alpha_t^2\frac{\part^2 f}{\part x^2}(t,X_t)]\mathrm{d}t+\alpha_t\frac{\part f}{\part X}(t,X_t)\mathrm{d}B_t

证明思路

使用泰勒展开，一些高阶无穷小项被省略掉了，区别于传统二元函数泰勒展开，因为$(\mathrm{d}X_t)^2=\alpha_t^2\mathrm{d}t$，故$(dX_t)^2$项没有被省略掉。

随机微分方程$(SDE)$ $(Stochastic\ Differential\ Equation)$

线性$SDE$

$\mathrm{d} X(t)=(c_1(t)X(t)+c_2(t))\mathrm{d} t+(\sigma_1(t)X(t)+\sigma_2(t))\mathrm{d} B_t \\ X_0=x_0$

其中$c_1(t),c_2(t),\sigma_1(t),\sigma_2(t)$是给定的函数。

齐次线性$SDE$

$\mathrm{d} X(t)=c_1(t)X(t)\mathrm{d} t+\sigma_1(t)X(t)\mathrm{d} B_t \\ X_0=x_0>0$

求解方法如下：

​ 令$Y_t=\ln X_t$，对$Y_t$应用伊藤公式：

$\mathrm{d} Y(t)=\mathrm{d}\ln X(t)=[c_1(t)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)] \mathrm{d}t+\sigma_1(t) \mathrm{d}B(t)$

所以：

$\ln X_t=Y(t)=\ln X_0+\int_{0}^{t}[c_1(s)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(s)] \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \sigma_1(s) \mathrm{d} B_s$

$X_t=X_0\ \exp\{\int_{0}^{t}[c_1(s)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(s)] \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \sigma_1(s) \mathrm{d} B_s\}$

称为广义布朗运动。

若 $C_1(s)=\mu\ ,\ \sigma_1(s)=\sigma$ 为常数，则：

$X_t=X_0\ e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma B_t}$

是几何布朗运动。

线性$SDE$的求解

补充知识：

若：

$\mathrm{d}X(t)=\alpha_1(t)\mathrm{d}B(t)+\beta_1(t)\mathrm{d}t \\ \mathrm{d}Y(t)=\alpha_2(t)\mathrm{d}B(t)+\beta_2(t)\mathrm{d}t$

则：

$\mathrm{d} (X(t)Y(t))=X(t)\mathrm{d}Y(t)+Y(t)\mathrm{d}X(t)+\mathrm{d}X(t)\mathrm{d}Y(t)$

求解：

令$Y(t)$为齐次线性$SDE$的解，令$X^{(1)}=Y^{-1}(t)$，则：

$\mathrm{d} X^{(1)}=\mathrm{d} Y^{-1}(t)=[-c_1(t)+\sigma_1^2(t)]X_t^{(1)} \mathrm{d}t-\sigma_1(t)X_t^{(1)} \mathrm{d} B_t$

运用上述补充知识可得：

$\mathrm{d} (X_t^{(1)}X_t)=[c_2(t)-\sigma_1(t)\sigma_2(t)]X_t^{(1)} \mathrm{d}t-\sigma_2(t)X_t^{(1)} \mathrm{d} B_t$

注意到$Y_0=1$，对两边积分并化简可得：

$X_t=Y_t(X_0+\int_{0}^{t}[c_2(s)-\sigma_1(s)\sigma_2(s)]Y_s^{-1} \mathrm{d}s+\int_{0}^{t}\sigma_2(s)Y_s^{-1} \mathrm{d} B_s)$

其中，$Y_t$是齐次线性$SDE$的解：

$Y_t=\ \exp\{\int_{0}^{t}[c_1(s)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(s)] \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \sigma_1(s) \mathrm{d} B_s\}$

解的期望与方差

对于非齐次线性$SDE$:

$\mathrm{d} X(t)=(c_1(t)X(t)+c_2(t))\mathrm{d} t+(\sigma_1(t)X(t)+\sigma_2(t))\mathrm{d} B_t \\ X_0=x_0$

我们考虑对其解求期望。

对其积分形式两边求期望：

$E[X(t)]=X_0=\int_{0}^{t}E[(c_1(s)X(s)+c_2(s))]\mathrm{d} s+0$

假设$c_1(s),c_2(s)$为确定性函数，则：

$E[X(t)]=X_0=\int_{0}^{t}(c_1(s)E[X(s)]+c_2(s))\mathrm{d} s+0$

是一阶线性常微分方程。

令$g(t)=E[X(t)]$，则：

$g'(t)=c_1(t)g(t)+c_2(t) \\ g(0)=x_0$

我们也可以直接令原方程中的$\sigma_1,\sigma_2=0$，解出来的$X_t$即为期望。