【随机分析（十一）】BS期权定价公式

从测度变换看BS公式

引子

一支股票今天价格$100$元，明天$50\%$概率涨到$210$元，$50\%$概率跌到$90$元，现有期权，其敲定价格为$50$元，不考虑贴现，求该期权的定价。

一种直接想法就是计算期权的期望收益，将其作为定价：

$P=50\%*(210-50)+50\%*(90-50) =100$

这个做法貌似是合理的，但其实是错误的，因为在该做法下存在套利空间。

我可以以$100$元的价格卖出一份期权，并买入一份股票；在明日对方行权时，以$50$元的价格出售这只股票，因此可以净赚$50$元，故存在套利空间。

下文将从测度变换的角度求解合理的定价。

$Girsanov$定理（盖萨诺夫定理）

如果概率$P$和$Q$满足对于$\forall A \in F$ 有：

$P(A)=0 =>Q(A)=0$

则称$Q$关于$P$绝对连续，记为$Q<<P$。

若$Q<<P$且$P>>Q$，则称$P$与$Q$等价。

令$B$为标准布朗运动，且$F_t=\sigma(B_s,s\leq t)$，定义：$\tilde B_t=B_t+at$，显然，当$a\not =0$时，$\tilde B$在$P$下不是布朗运动，但可取合适的概率$Q$，使得$\tilde B$在$Q$下是标准布朗运动。

$Girsanov$定理：

• 在概率测度$P$下，$M_t=\exp \{-\frac{1}{2}a^2t+aB_t \}$是一个鞅$(0\leq t\leq T)$。
• 定义$Q(A)=E_p[M_TI_A]$，则$Q$为$(\Omega,F)$上的概率，且$Q\sim P$
• 在概率测度$Q$下，$\tilde B_t=B_t+at$是标准布朗运动
• $\tilde B$ 适应于$\{F_t\}$

$Q$称为等价鞅测度。

用测度变换对期权定价

风险中性投资者只关心平均收益率，在全是风险中性投资的市场中，只有一个平均收益率，该收益率为无风险收益率$r$。我需要进行合适的测度变换，使得每个资产的收益率均为$r$，该测度称为风险中性测度。

股票价格：

$\mathrm{d} S_t =\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t \mathrm{d}B_t \\$

债券价格：

$\mathrm{d} S_t^0=r S_t^{0}\mathrm{d}t$

考虑在风险中性市场中，只有无风险收益率$r$，故需要将股票的收益率由$\mu$变为$r$：

$\mathrm{d} S_t =rS_t \mathrm{d}t +\sigma S_t(\mathrm{d} B_t+\frac{\mu-r}{\sigma} \mathrm{d}t) \\ =rS_t \mathrm{d}t +\sigma S_t \mathrm{d}(B_t+\frac{\mu-r}{\sigma}t)$

令$a=\frac{\mu-r}{\sigma}$，运用$Girsanov$定理，我们知道存在一个测度$Q$，$\tilde B=\{B_t+at\}$在测度$Q$下是布朗运动。则在$Q$下：

$\mathrm{d} S_t=rS_t\mathrm{d} t+\sigma S_t \mathrm{d} \tilde{B_t}$

股票在$Q$下的平均收益率就变为了$r$。

而$a=\frac{\mu-r}{\sigma}$，我们称之为风险的市场价格

考虑折现后的股票价格：

$\mathrm{d} (e^{-rt}S_t)= \sigma e^{-rt}St\ \mathrm{d}\tilde{B_t}$

这是一个伊藤积分，故$\{e^{-rt}S_t,0\leq t\leq T\}$是一个鞅。

折现后的债券价格：

$e^{-rt}S_t^0=1$

也是一个鞅。

对于投资组合$(\Delta t,\Delta t^0)$，其价值过程：

$X_t=\Delta t S_t+\Delta t^0 S_t^0$

该投资组合是自融资的，故：

$\mathrm{d}X_t=\Delta t \mathrm{d}S_t+\Delta t^0 \mathrm{d}S_t^0$

可以推导出折现后的价值过程：

$\mathrm{d} (e^{-rt}X_t)=\sigma \Delta t e^{-rt}S_t\mathrm{d} \tilde{B_t}$

于是我们发现折现后的价值过程是在$Q$下的伊藤积分，所以，是鞅！！！

对于未定权益：$(S_T-K)^{+}$，折现后：$e^{-rT}(S_T-K)^{+}$

根据期权复制：

$X_T=(S_T-K)^{+} \ \ ,\ \ X_t=C(t,S_t)$

由于$\{e^{-rt}X_t \}$在$Q$下是鞅，故：

$E_Q[e^{-rT}X_T|F_t]=e^{-rt}X_t$

$X_t=C(t,S_t)=E_Q[e^{-r(T-t)}(S_T-K)^{+}|F_t]$

令$t=0$，则：

$X_0=C(0,S_0)=E_Q[e^{-rT}(S_T-K)^{+}]$

我们发现期权的价格正是在$Q$测度（风险中性测度）下对未定权益的贴现。

$c(t,S_t)=E_Q[e^{-r(T-t)}(S_T-K)^{+}|F_t] \\ =E_Q[e^{-r(T-t)}(S_0e^{(r-0.5\sigma^2)T+\sigma\tilde{B}_T}-K)^{+}|F_t]$

省略一些化简步骤可得：

$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$

其中：

$d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_2=\frac{\ln(S_0/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}=d_1-\sigma\sqrt{T}$

$N$为标准正态累计分布函数。

回到最初的问题

为什么不能直接用$E(e^{-rT}(S_T-K)^{+})$来为期权定价？因为该期望是在**原有的市场测度$P$之下，而正确的期望应当是定义在风险中性测度$Q$**之下的。

对于引子中的例题，正确的定价应基于测度$Q$，而在测度$Q$下股票价格的贴现是一个鞅，故：

$210*q+90*(1-q)=100$

解得：

$q=\frac{1}{12}$

因此合理的定价为：

$C=\frac{1}{12}*(210-50)+\frac{11}{12}*(90-50)=50$